所谓递推,是指从已知的初始条件出发,依据某种递推关系,逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。其中初始条件或是问题本身已经给定,或是通过对问题的分析与化简后确定。
利用递推算法求问题规模为n的解的基本思想是:当n=1时,解或为已知,或能非常方便地求得;通过采用递推法构造算法的递推性质,能从已求得的规模为1、2、…、i−1的一系列解,构造出问题规模为i的解。这样,程序可从i=0或i=1出发,重复地由已知至i−1规模的解,通过递推,获得规模为i的解,直至获得规模为n的解。
可用递推算法求解的问题一般有以下两个特点: (1) 问题可以划分成多个状态; (2) 除初始状态外,其它各个状态都可以用固定的递推关系式来表示。当然,在实际问题中,大多数时候不会直接给出递推关系式,而是需要通过分析各种状态,找出递推关系式。
利用递推算法解决问题,需要做好以下四个方面的工作:
(1)确定递推变量
应用递推算法解决问题,要根据问题的具体实际设置递推变量。递推变量可以是简单变量,也可以是一维或多维数组。从直观角度出发,通常采用一维数组。
(2)建立递推关系
递推关系是指如何从变量的前一些值推出其下一个值,或从变量的后一些值推出其上一个值的公式(或关系)。递推关系是递推的依据,是解决递推问题的关键。有些问题,其递推关系是明确的,大多数实际问题并没有现成的明确的递推关系,需根据问题的具体实际,通过分析和推理,才能确定问题的递推关系。
(3)确定初始(边界)条件
对所确定的递推变量,要根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始(边界)值,这是递推的基础。
(4)对递推过程进行控制
递推过程不能无休止地重复执行下去。递推过程在什么时候结束,满足什么条件结束,这是编写递推算法必须考虑的问题。
递推过程的控制通常可分为两种情形:一种是所需的递推次数是确定的值,可以计算出来;另一种是所需的递推次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对递推过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束递推过程的条件。
递推通常由循环来实现,一般在循环外确定初始(边界)条件,在循环中实施递推。
递推法从递推方向可分为顺推与倒推。
所谓顺推法是从已知条件出发,通过递推关系逐步推算出要解决的问题的结果的方法。如求斐波拉契数列的第20项的值,设斐波拉契数列的第n项的为f(n),已知f(1)=1,f(2)=1;通过递推关系式f(n)=f(n-2)+f(n-1) (n>=3,n∈n),可以顺推出f(3)=f(1)+f(2)=2、f(4)=f(2)+f(3)=3、…直至要求的解f(20)=f(18)+f(19)=6765。
所谓倒推法,就是在不知初始值的情况下,经某种递推关系而获知了问题的解或目标,从这个解或目标出发,采用倒推手段,一步步地倒推到这个问题的初始情况。
一句话概括:顺推是从条件推出结果,倒推从结果推出条件。
顺推法是从前往后推,从已求得的规模为1、2、…、i−1的一系列解,推出问题规模为i的解,直至得到规模为n的解。顺推算法可描述为:
for (k=1; k<=i−1; k++)
f[k]= <初始值>; // 按初始条件,确定初始值
for (k=i; k<=n; k++)
f[k]= <递推关系式>; // 根据递推关系实施递推
cout<<f[n]; // 输出n规模的解f(n)
倒推法是从后往前推,从已求得的规模为n、n−1、…、i+1的一系列解,推出问题规模为i的解,直至得到规模为1的解(即初始情况)。倒推算法可描述为:
for (k=n; k>=i+1; k–)
f[k]= <初始值>; // 按初始条件,确定初始值
for (k=i; k>=1; k–)
f[k]= <递推关系式>; // 根据递推关系实施递推
cout<<f[1]; // 输出问题的初始情况f(1)
递推问题一般定义一维数组来保存各项推算结果,较复杂的递推问题还需定义二维数组。例如,当规模为i的解为规模为1、2、…、i−1的解通过计算处理决定时,可利用二重循环处理这一较为复杂的递推。
【例1】rpg涂色问题
有排成一行的n个方格,用红(red)、粉(pink)、绿(green)三种颜色涂每个格子,每个格子涂一种色,要求任何相邻的方格不能同色,且首尾两格也不同色。
编写一个程序,输入方格数n(0<n<=30),输出满足要求的全部涂法的种数。
(1) 编程思路
设满足要求的n个方格的涂色方法数为f(n)。
因为rpg有三种颜色,可以先枚举出当方格数为1、2、3时的涂法种数。
显然, f(1)=3 (即r、p、g三种)
f(2)=6 (即rp、rg、pr、pg、gr、gp六种)
f(3)=6 (即rpg、rgp、prg、pgr、grp、gpr六种)
当方格的个数大于3时,n个方格的涂色方案可以由n-1方格的涂色方案追加最后一个方格的涂色方案得出,分两种情况:
1)对于已按要求涂好颜色的n-1个方格,在f(n-1)种合法的涂色方案后追加一个方格(第n个方格),由于合法方案的首尾颜色不同(即第n-1个方格的颜色不与第1个方格的相同),这样,第n个方格的颜色也是确定的,它必定是原n-1个方格的首尾两种颜色之外的一种,因此,在这种情况下的涂色方法数为f(n-1)。
2)对于已按要求涂好颜色的n-2个方格,可以在第n-1个方格中涂与第1个方格相同的颜色,此时由于首尾颜色相同,这是不合法的涂色方案,但可以在第n个方格中涂上一个合法的颜色,使其成为方格长度为n的合法涂色方案(注意:当n等于3时,由于第1(3-2)个方格与第2(3-1)个方格颜色相同,第3个方格不论怎样涂都不会合法,因此递推的前提是n大于3),在第n个方格中可以涂上两种颜色(即首格外的两种颜色,因为与它相连的第n-1个方格和第1个方格的颜色是一样的),因此,在这种情况下的涂色方法数为2*f(n-2)。
由此,可得递推公式:f(n)= f(n-1) + 2*f(n-2) (n>=4)
程序中定义3个变量f1、f2和f3分别表示f (n-2)、f(n-1)和f(n),初始时f1=6、f2=6。
当n<4时,根据初始情况直接输出结果。
当n>=4时,用循环递推计算f(n)。程序段描述为:
for(i=4;i<=n;i++)
{
f3=f1+f2; // 计算当前f(i)
f1=f2; f2=f3; // 为下一次递推做准备
}
(2)源程序及运行结果
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int i,n,f1,f2,f3,num;
cout<<“请输入方格的数目 n (0<n<=30):”;
cin>>n;
if (n==1) num=3;
else if (n==2 || n==3) num=6;
else
{
f1=6; f2=6;
for(i=4;i<=n;i++)
{
f3=2*f1+f2; // 递推求f(i)
f1=f2; f2=f3; // 为下次递推做准备
}
num=f3;
}
cout<<n<<“个方格的正确涂色方案一共有”<<num<<“种。”<<endl;
return 0;
}
为更清晰地描述递推过程并保存中间结果,可以定义一个一维数组f[31],数组元素f[i]保存总数为i个方格的涂色方法数。初始值: f[1]=3、f[2]=6、f[3]=6。源程序清单如下。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int i,n,f[31];
f[0]=0;
f[1]=3;
f[2]=6;
f[3]=6;
for(i=4;i<31;i++)
f[i]=f[i-1]+2*f[i-2];
cout<<“请输入方格的数目 n (n<=30):”;
cin>>n;
cout<<n<<“个方格的正确涂色方案一共有”<<f[n]<<“种。”<<endl;
return 0;
}
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