c/c++语言开发共享斜率优化dp学习笔记

本文为原创??? 作者写这篇文章的时候刚刚初一毕业…… 如有错误请各位大佬指正 从例题入手 洛谷P3915[HNOI2008]玩具装箱toy Step0:读题 Q:暴力? 如果您学习过dp 不难推出dp方程 设dp[i]表示放置前i个物品需要的最小价值 dp[i]=min(dp[j]+(sum[i] …

c/c++开发分享斜率优化dp学习笔记为原创???

作者写这篇文章的时候刚刚初一毕业……

如有错误请各位大佬指正

 


 

从例题入手

洛谷p3915[hnoi2008]玩具装箱toy

 

step0:读题

q:暴力?

如果您学习过dp

不难推出dp方程

设dp[i]表示放置前i个物品需要的最小价值

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j-1]+i-j-l)^2)

sum[i]表示前缀和

暴力分有了!!恭喜!

 

下面我们引入斜率优化:

首先进行一个变形:

原来的式子可以变为:f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-l-1)^2)

令a[i]=sum[i]+i,b[i]=sum[i]+i+l+1

f[i]=min(f[j]+(a[i]-b[j])^2)

f[i]=min(f[j]+a[i]^2+b[j]^2-2*a[i]*b[j])     初一公式!展开平方!

把b[j]看做x,f[j]+b[j]^2看做y

y=2*a[i]x+dp[i]-a[i]^2

这就是一条是直线的解析式!

y=kx+b,k=2*a[i],b=f[i]-a[i]^2

要找到一个点p(b[j],f[j]+b[j]^2)使得上面的斜率为2*a[i]的直线穿过这个点且与y 的轴截距最小

因为斜率k=2*a[i]是固定的,所以要求的就是最小的b,加上a[i]^2就是dp[i]的值。斜率优化dp学习笔记

 

 很明显就是维护一个下凸壳

令a[i]=sum[i]+i

斜率单调递增!

code:推荐照着讲解看

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